Sandwich semigroups in locally small categories

Abstract

<p>Abstract: Let S be a locally small category, and fix two (not necessarily distinct) objects<br />i, j in S. Let Sij and Sji denote the set of all morphisms i &rarr; j and j &rarr; i, respectively. Fix<br />a &isin; Sji and define (Sij , ? a), where x?a y = xay for x, y &isin; Sij . Then, (Sij , ? a ) is a semigroup, known as a sandwich semigroup, and denoted by S a ij . In this thesis, we conduct a thorough investigation of sandwich semigroups (in locally small categories) in general, and then apply these results to infer detailed descriptions of sandwich semigroups in a number of categories. Firstly, we introduce the notion of a partial semigroup, and establish a framework for describing a category in &quot;semigroup language&quot;. Then, we prove various results describing Green&rsquo;s relations and preorders, stability and regularity of S a ij . In particular, we emphasize the relationships between the properties of the sandwich semigroup and the properties of the category containing it. Also, we highlight the significance of the properties of the sandwich&nbsp; element a. In this process, we determine a natural condition on a called sandwich regularity which guarantees that the regular elements of S a ij form a subsemigroup tightly connected to<br />certain non-sandwich semigroups. We explore these connections in detail and infer major structural results on Reg(S a ij) and the generation mechanisms in it. Finally, we investigate ranks and idempotent ranks of the regular subsemigroup Reg(S a ij ) and idempotent-generated subsemigroup E(S a ij ) of S a ij . In general, we are able to infer expressions for lower bounds for these values. However, we show that in the case when Reg(S a ij ) is MI-dominated (a property which has to do with the &quot;covering power&quot; of certain local monoids), the mentioned lower bounds are sharp. We apply the general theory to sandwich semigroups in various transformation categories (partial maps P T&nbsp; , injective maps I , totally defined maps T , and matrices M(F) &minus; corresponding to linear transformations of vector spaces over a field F) and diagram categories (partition P ,&nbsp; lanar partition PP , Brauer B, partial Brauer PB, Motzkin M , and Temperley-Lieb T L categories), one at a time. In each case, we investigate the partial semigroup itself in terms of Green&rsquo;s relations and regularity and then focus on a sandwich semigroup in it. We apply the general results to thoroughly describe its structural and combinatorial properties. Furthermore, since in each category that we consider all elements are sandwich-regular, we may apply the theory concerning the regular subsemigroup in all<br />of these cases. In particular, Reg(S a ij ) turns out to be tightly connected to a certain nonsandwich monoid for each category S we consider, and we are able to describe&nbsp; eg(S a ij ) and E(S a ij ). However, we conduct the combinatorial part of the investigation only for the sandwich semigroups in transformation categories (P T , I , T , and M(F)) and sandwich semigroups in the Brauer category B since only these have MI-dominated regular subsemigroups (and some other properties that make them more amenable to&nbsp; investigation). For these sandwich semigroups, we enumerate regular Green&rsquo;s classes and idempotents, and we calculate the ranks (and idempotent ranks, where appropriate) of Reg(S a ij ), E(S a ij ) and S a ij .</p>

<p>Neka je S lokalno mala kategorija. Fiksirajmo proizvoljne (ne nužno različite) objekte i i j iz S. Neka Sij i Sji označavaju skupove svih morfizama i &rarr; j i j &rarr; i, redom. Fiksirajmo morfizam a &isin; Sji i defini&scaron;imo strukturu (Sij , ? a ), gde je x ? a y = xay za sve x, y &isin; Sij . Tada je (Sij , ? a ) sendvič polugrupa, koju označavamo sa S a ij . U tezi ćemo sprovesti detaljno ispitivanje sendvič polugrupa (u lokalno maloj kategoriji) u op&scaron;tem slučaju, a zatim ćemo primeniti dobijene rezultate u cilju opisivanja sendvič polugrupa u konkretnim kategorijama. Najpre uvodimo pojam parcijalne polugrupe i postavljamo osnovu koja nam omogu-ćava da opi&scaron;emo kategoriju na &quot;jeziku polugrupa&quot;. Zatim slede brojni rezultati koji opisuju Grinove relacije i poretke, kao i stabilnost i regularnost polugrupe (Sij , ? a ). Tu posebno ističemo veze između osobina sendvič polugrupe i parcijalne polugrupe koja je sadrži. Takođe, posebnu pažnju posvećujemo uticaju sendvič elementa a na osobine sendvič polugrupe (Sij , ? a ). Kao najbitniji primer se izdvaja osobina sendvič-regularnosti ; naime, dokazujemo da, ako je a sendvič- regularan, onda regularni elementi iz S a ij formiraju podgrupu koja je usko povezana sa određenim &quot;ne-sendvič&quot; polugrupama. U tezi detaljno ispitujemo te veze i dobijamo važne rezultate o strukturi polugrupe Reg(Sij , ? a ) i mehanizmima generisanja u njoj. Za kraj, ispitujemo rangove i idempotentne rangove regularne potpolugrupe Reg(Sij , ? a ) i idempotentno-generisane potpolugrupe E(Sij , ? a ). U op&scaron;tem slučaju možemo dati donja ograničenja za ove vrednosti. Međutim, u slučaju kada je regularna polugrupa Reg(Sij , ? a ) MI-dominirana (&scaron;to znači da je određeni lokalni monoidi pokrivaju), ta donja ograničenja su dostignuta. U ostatku teze, primenjujemo op&scaron;tu teoriju na sendvič polugrupe u brojnim kategorijama transformacija (parcijalne funkcije P T , injektivne parcijalne funkcije I , potpuno definisane funkcije T i matrice M(F), koje predstavljaju linearne transformacije vektorskih prostora nad poljem F) i kategorijama dijagrama (particije P , planarne particije PP , Brauerove B,parcijalne Brauerove PB, Mockinove M , i Temperli-Lib T L particije). U svakom od ovih slučajeva, prvo istražujemo parcijalnu polugrupu iz aspekta Grinovih relacija i regularnosti, a zatim se fokusiramo na (proizvoljnu) sendvič polugrupu u njoj. Pri tome, primenjujemo op&scaron;te rezultate da bismo detaljno opisali njenu strukturu i kombinatorne osobine. Osim toga, u svim slučajevima primenjujemo i teoriju vezanu za regularnu potpolugrupu, po&scaron;to su svi elementi u na&scaron;im kategorijama sendvič-regularni. To znači da je u svakoj kategoriji S koju razmatramo, Reg(Sij , ? a ) usko povezana sa određenim monoidom, i preko te veze možemo opisati&nbsp; polugrupe Reg(Sij , ? a ) i E(Sij , ? a ). Ipak, kombinatorni deo ispitivanja sprovodimo samo za sendvič polugrupe u kategorijama transformacija (P T , I , T i M(F)) i sendvič polugrupe u Brauerovoj kategoriji B, po&scaron;to samo one imaju MI-dominirane regularne potpolugrupe (i jo&scaron; neke osobine koje ih čine pogodnijim za ispitivanje). U ovim sendvič polugrupama računamo broj regularnih Grinovih klasa i idempotenata, i izračunavamo rangove (i idempotentne rangove, ako postoje) polugrupa Reg(Sij , ? a ), E(Sij , ? a ) i S a ij .</p>